Neumann János és a játékelmélet

A játék fogalma gazdag jelentéstartalommal rendelkezik, ahogy arra Huizinga is rámutatott. Neumann János a társasjátékokat játszva és tanulmányozva ismerte fel, hogy ezek az interaktív racionalitás modelljéül is szolgálhatnak. Neumann először a kétszemélyes állandó összegű játékokat tanulmányozta, majd kitért a többszemélyes és azon belül az együttműködés lehetőségeit is hordozó interakciók matematikai elemzésére. Neumann a játékelmélet alapjait lerakva többek között a következő fogalmakat vezette be: minimax stratégia, nyeregpont, kevert stratégia, kooperatív játékelmélet.

1. Játékelmélet előfeltevései

Neumannt zavarta, hogy a közgazdaságtanban a mechanikából származó modelleket használnak. Örömmel ismerte fel, hogy a társasjátékok még hordozzák az emberi viselkedés specifikumait (szabadság, döntés, racionalitás), miközben már elég egyszerűek ahhoz, hogy matematikailag elemezni lehessen.

Neumann a társas viselkedés alapproblémáját a következőképp fogalmazta meg: „n játékos, S1, S2, ...Sn egy adott társasjátékot játszik. Hogyan kell a játékosok egyikének, Si-nek játszani, hogy a lehető legkedvezőbb eredményt érje el? A kérdésfeltevés általánosan ismert, és aligha van a mindennapi életnek olyan kérdése, amelyben ez a probléma ne szerepelne; ennek ellenére a kérdés értelme nem egyértelműen világos, mert mihelyt n > 1 (azaz tulajdonképpeni játékról van szó), minden egyes játékos sorsa saját cselekvésén kívül még játékostársai cselekedeteitől is függ; és ezek magatartásán pontosan ugyanazok az önző indítékok uralkodnak, amelyeket az első játékosnál meg szeretnénk határozni. Érezhető, hogy a dolog lényegében rejlik bizonyos körkörösség. (Neumann, 1965. 121)

Az idézett szöveg alapján a játékelmélet alkalmazásának a feltétételei a következők. (i) Vannak játékosok, aki szuverén módon és szabadon választhatnak a különböző stratégiák között. (ii) Az játékosok önzők és a „lehető legkedvezőbb eredményre” törekszenek (a játék szabályrendszerein belül). (iii) Egy játékos eredménye nemcsak a saját, hanem a többi játékos viselkedésétől is függ.

Minden társasjáték egy olyan verseny szituáció, ahol a játékosok az önérdeküket a játékszabályok adta kereteken belül próbálják érvényesíteni. Az ilyen helyzeteket elemezve a játékelmélet mindig a szabályok adta kereteken belül marad. A csaló vagy éppen a játékostársait lelövő gyilkos „pókerjátékos” nem tárgya a játékelméletnek.

Nyilvánvaló, hogy az idézett szöveg nemcsak a társasjátékokra érvényes, azaz a játékelmélet széles körben alkalmazható. Az egyik fontos alkalmazási területet jelentik a verseny szituációk – legyenek azok gazdasági, katonai, politikai, szociológiai vagy éppen biológiai jellegűek. Ezeket a helyzeteket egyidejűleg jellemzi az önérdek és a természeti vagy társadalmi törvényekből fakadó szabályrendszer.

Egy filozófus számára a (ii) pont a legérdekesebb, hiszen a hús-vér ember nyilvánvalóan nem annyira önző és nem annyira szabálykövető, mint a játékelmélet által definiált játékos. Ez azt jelenti, hogy a játékelméleti modellek két irányba is torzítanak. Egyrészt a hús-vér emberek gyakran önzetlenek, mert szeretnek, szolidárisak vagy éppen önfeláldozók, szemben a játékosokkal, akik mindig önzők. Másrészt a hús-vér emberek sokkal kevésbé szabálykövetők, mint a játékosok. Ezzel a megszorítással, azonban a játékelmélet jól alkalmazható a legkülönbözőbb társas helyzetek elemzésére. Sőt a társasjátékok logikájának a segítségével a kölcsönösen előnyös együttműködések is leírhatók. Ezt már Neumann is felismerte és a nem-kooperatív játékelmélet mellett megalapozta a kooperatív játékelméletet is. Természetesen a kooperatív játékelméletben kialakuló együttműködések mögött is mindig „önző indítékok” állnak.

Egy matematikus számára elsősorban a játék interaktív jellege (iii pont) az érdekes. Miután a játékelmélet a priori azonosítja a „lehető legkedvezőbb eredményt”, illetve az „önző indítékot” a racionális viselkedéssel, felteszi a kérdést, hogy mit jelent a racionalitás interaktív helyzetben? Erre a kérdésre nem-interaktív (parametrikus) helyzetekben, például a gazdasági helyzetek többségében egyszerű a válasz. Az önző Homo eoconomicus-ok megpróbálják maximalizálni a nyereségüket vagy a várható nyereségüket. Interaktív helyzetekben a nyereségmaximalizálás jelentése homályos. A probléma a következő: az egyén racionális magatartása akkor meghatározható, ha mások magatartását apriorisztikusan ismertnek tételezzük. Mások racionális magatartása azonban nem lehet a priori ismert, mivel azt az egyén racionális magatartása is befolyásolja! Így látszólag logikai zsákutcába jutunk. Neumann erre a problémára  a minimax stratégia fogalmának a kidolgozásával válaszolt.

2. Minimax elv

Neumann először is különbséget tett a tiszta stratégiai játékok (pl. malom, snóbli), és a tiszta szerencsejátékok (pl. kockajáték, rulett) között. A legtöbb társasjátékban (pl. bridzs, ulti) azonban a véletlennek és a stratégiának is szerepe van. A játékelmélet stratégiai játékokkal foglalkozik, ahol a játékos döntéseinek meghatározó szerepe van a játék kimenetelében.

A legegyszerűbb stratégiai játékok a kétszemélyes állandó összegű játékok, mint pl. a sakk vagy a kétszemélyes társasjátékok és kártyajátékok. Könnyű azokat az erőket elképzelni, amelyek egy ilyen döntési helyzetben egymással harcolnak, mondja Neumann. Mint egy kötélhúzási versenyben a felek két oldalról húzzák a kötelet, és mindkét fél arra törekszik, hogy a kötelet a saját oldalára húzza. Azaz a saját nyereségét mindkét fél maximalizálni, s ami ezzel egyenértékű a másik nyereségét minimalizálni akarja. Természetesen mindkét játékos törekedhet arra, hogy az egész nyereség az övé legyen, de ezt a másik fél döntéseivel megakadályozhatja. Sőt, aki a maximális nyereségre törekszik, kiteszi magát annak a veszélynek, hogy a biztosan elérhetőnél is kevesebbet nyernek. Azaz a nyereségmaximalizáló viselkedés könnyen vezethet minimális nyereséghez.

Neumann (1965 121) szerint ezekben a helyzetekben a minimax elvet kell követni. Ezzel a viselkedéssel a felek maximalizálni tudják a minimális nyereségüket, vagy másként fogalmazva: minimalizálni tudják az ellenfelük maximális nyereségét. A minimax elv alapvetően realista – néha a pesszimista terminust használják –, mert feltételezi, hogy a rivális meg fogja találni a számára a legjobb és az alany számára a legrosszabb ellenlépést.

Kétszemélyes játék esetében a minimax stratégia követése praktikusan a következő eljárást jelenti. A játékos megvizsgálja, hogy az egyes stratégiák esetében – amit egy mátrix esetében sorok és oszlopok jelképeznek – mi a legrosszabb kimenetel, más szóval megkeresi a sorminimumokat, majd azt a stratégiát (sort) választja, ahol ez a minimális érték a legnagyobb. Hasonló elgondolás alapján dönt a másik fél is. A minimax stratégia a legokosabb rivális ellen is biztosítja a legrosszabb kimenetelek közül a legjobbat, kevésbé okos ellenfél esetén pedig még jobb eredményt is. Ezzel a stratégiával mindkét játékos a maximális veszteségét minimalizálja.

A minimax stratégia bizonyos vonatkozásban megőrzi az eredeti maximalizálási kritériumot, amennyiben azt javasolja, hogy a minimális nyereségek közül válasszuk a maximumot. Neumann már 1928-ban bebizonyította, hogy minden kétszemélyes, véges stratégiából álló, állandó összegű játéknak van megoldása. Ezt a pontot Neumann nyeregpontnak (saddle point) nevezte. A kétszemélyes állandó összegű mátrix játékokra jellemző ábrázolási módban az az elem a nyeregpont, amelyre egyidejűleg igaz, hogy a legkisebb az értéke az oszlopban és a legnagyobb a sorban.

3. Kevert stratégiák

Látszólag a minimax stratégia választásának elve sem alkalmazható minden interakcióban. Gondoljunk csak például a közismert kő – papír – olló játékra. Ebben a játékban nem jó stratégia mindig valamilyen tiszta stratégiát választani pl. papírt, mert az ellenfél erre gyorsan rájön, s akkor ollót választva mindig nyerni fog. Neumann előtt azt gondolták, hogy az okos emberek a játék előzményeiből képesek kitalálni a másik gondolát és így képesek mindig győzni. E. A. Poe egyik írásában egy fiú a snóbli játékban az előzményekből és ellenfele arcjátékából következtetve találja ki, hogy az mit fog választani és így mindig legyőzi az ellenfelét.

Neumann szerint ez az út járhatatlan, helyette a tiszta stratégiák közötti véletlenszerű választást javasolja. A kő – papír – olló esetében a játékosoknak 1/3 valószínűséggel véletlenszerűen kell választani a három tiszta stratégiájukból. A kevert stratégia (mixed strategy) tehát a tiszta stratégiák választási gyakoriságához rendelt valószínűség. Mivel a választás véletlenszerű, ezért az ellenfél elve nem tudja kitalálni azt. Ha a kevert stratégiákat is figyelembe vesszük, akkor a kő – papír – olló típusú játékok is teljesen egyértelművé válnak. Tehát a kevert stratégiák világában ezeknek a játékoknak is van egy kevert nyeregpontjuk, s mindkét fél érdeke azt diktálja, hogy erre az absztrakt nyeregpontra törekedjen, írja Mérő László.

Tóth I. János

Irodalom

Kóczy Á. László (2006): A Neumann-féle játékelmélet. Közgazdasági Szemle, 53. (2006) 1. sz. 31–45.

Mérő László (1996): Mindenki másképp egyforma. Tercium Kiadó, Budapest

Neumann János (1965): Válogatott előadások és tanulmányok. Ford.: Augusztinovics Mária. Budapest, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó.

Neumann, J von (1928): Zur theorie der gesellschaftsspiele Math. Annalen. 100 295-320 o.

Tóth I. János (2010): Játékelméleti dilemmák, társadalomfilozófiai alkalmazásokkal. JATEPress. Szeged.